Relações entre coeficientes e raízes (Relações de Girard)
Equação do segundo grau
Consideremos a equação:
\[
ax^2 + bx + c = 0, \quad (a \neq 0)
\]
Do Teorema da Decomposição, se \(x_1\) e \(x_2\) são raízes da equação \(ax^2 + bx + c = 0\), então:
\[
\begin{array}{rcl}
ax^2 + bx + c & = & (x – x_1)(x – x_2) \\
ax^2 + bx + c & = & a\left[x^2 – (x_1 + x_2)x + x_1x_2\right] \\
ax^2 + bx + c & = & ax^2 – a(x_1 + x_2)x + ax_1x_2
\end{array}
\]
Igualando os coeficientes dos termos semelhantes, temos
\[
\left\{
\begin{array}{l}
a = a \\
-a(x_1 + x_2) = b \\
a \cdot x_1x_2 = c
\end{array}\right.
\Longleftrightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \\
x_1x_2 = \frac{c}{a}
\end{array}\right.
\]
Portanto:
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}
\]
Equação do terceiro grau
Considere a equação:
\[
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, (a\neq 0)
\]
De forma análoga, pelo Teorema da Decomposição, se \(x_1\), \(x_2\), e \(x_3\) são raízes da equação \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\), então:
\[
\begin{array}{rcl}
ax^3 + bx^2 + cx + d & = & a(x – x_1)(x – x_2)(x – x_3) \\
ax^3 + bx^2 + cx + d & = & a\left[x^3 – x^2 \cdot x_1 – x^2 \cdot x_2 – x^2 \cdot x_3 + x \cdot x_1x_2 + x \cdot x_1x_3 + x \cdot x_2x_3 – x_1x_2x_3\right] \\
ax^3 + bx^2 + cx + d & = & ax^3 – a(x_1 + x_2 + x_3)x^2 + a(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)x – a(x_1x_2x_3)
\end{array}
\]
Igualando os coeficientes dos termos semelhantes, temos
\[
\left\{
\begin{array}{l}
a = a \\
-a(x_1 + x_2 + x_3) = b \\
a \cdot (x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3) = c \\
a \cdot (x_1x_2x_3) = -d \\
\end{array}
\right.
\Longleftrightarrow \left\{
\begin{array}{l}
x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} \\
x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a} \\
x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}
\end{array}
\right.
\]
Portanto:
\[
x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}, \quad x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -\frac{d}{a}
\]
Equação do quarto grau
Considere a equação:
\[
ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx+e = 0, (a\neq 0) \]
Seguindo de forma análoga, como anteriormente, que se \(x_1, x_2,x_3\) e \(x_4\) são raízes da equação \(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx+e = 0\), então
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x_1 + x_2 + x_3+x_4 = -\frac{b}{a} \\
x_1x_2 + x_1x_3 +x_1x_4+ x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4 = \frac{c}{a} \\
x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4 = -\frac{d}{a}\\
x_1x_2x_3x_4=\frac{e}{a}
\end{array}
\right.
\]
As relações de Girard, são válidas, de forma análoga, para uma equação polinomial de grau \(n\leq 1\). Tal extensão não cabe aqui no nosso escopo.
Exercícios
1. Calcule a soma e o produto das raízes da equação \(2x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 5x + 6 = 0\).
- Resolução:
Uma aplicação direta das relações de Girard, sendo \(x_1, x_2,x_3\) e \(x_4\) as raízes da equação, então
\[x_1 + x_2 + x_3+x_4 = -\frac{b}{a}=-\frac{3}{2}\]
2. Se \(r_1\), \(r_2\) e \(r_3\) são raízes da equação \(2x^3 + 5x^2 + 8x + 11 = 0\), determine o valor de \(r_1^2 + r_2^2 + r_3^2\).
3. Resolva a equação \(x^3 – 6x^2 + 3x + 10 = 0\) sabendo que a soma de duas de suas raízes é 1.
4. Se \(a\), \(b\), e \(c\) são raízes da equação \(x^3 – 2x^2 + 3x – 4 = 0\), calcule a soma dos inversos das raízes.
- Resolução:
Se \(a\), \(b\), e \(c\) são raízes da equação, a soma dos inversos destas raízes é dada por \(\displaystyle{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\). Assim
\[\displaystyle{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+ac+bc}{a+b+c}}\].
Denotando os coeficientes da equação por \(A=1\), \(B=-2\), \(C=3\) e \(D=-4\). Tem-se \[\left\{
\begin{array}{l}
a+b+c= -\frac{B}{A}=2 \\
ab+ac+bc = \frac{C}{A}=-3 \\
abc = -\frac{D}{A}=4
\end{array}
\right.
\]
Logo, \[\displaystyle{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+ac+bc}{a+b+c}=-\frac{3}{4}}\].
5. Resolva a equação \(x^3 – 9x^2 + 20x – 12 = 0\) sabendo que uma raiz é igual ao dobro da soma das outras duas.
6. Resolva a equação \(x^3 + 5x^2 – 12x – 26 = 0\) sabendo que o produto de duas raízes é 2.
7. Resolva a equação \(x^3 – 9x^2 + 23x – 15 = 0\) sabendo que suas raízes estão em P.A.
8. Resolva a equação \(x^4 – 4x^3 – x^2 + 16x – 12 = 0\) sabendo que existem duas raízes simétricas.
9. Determine \(m\) para que a equação \(x^3 – 7x + m = 0\) tenha uma raiz igual ao dobro de outra e, em seguida, resolva a equação.