Combinações Completas
Introdução
Neste artigo, vamos aprofundar nosso estudo de análise combinatória, explorando as combinações completas, também conhecidas como combinações com repetição. Enquanto nas combinações simples a ordem dos elementos não importa e não há repetição, nas combinações completas podemos repetir os elementos em nossos agrupamentos. Isso nos permite resolver problemas como “Quantas maneiras há de escolher 7 sorvetes em uma loja com 4 sabores disponíveis?”, mesmo que possamos escolher sabores repetidos.
Exemplo Prático: Escolha de Sorvetes
Considere o problema: De quantas maneiras podemos escolher 7 sorvetes entre 4 sabores diferentes, permitindo a repetição dos sabores?
Para resolver, vamos modelar esse problema com uma equação combinatória. Suponha que:
- \(x_1\) seja a quantidade de sorvetes escolhidos do sabor 1,
- \(x_2\) seja a quantidade de sorvetes escolhidos do sabor 2,
- \(x_3\) seja a quantidade de sorvetes escolhidos do sabor 3,
- \(x_4\) seja a quantidade de sorvetes escolhidos do sabor 4.
Dessa forma, queremos resolver a equação:
x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 7
\]
em que cada \(x_i \) é maior ou igual a zero.
Método das Bolinhas e Pauzinhos
Para resolver essa equação, utilizamos o método das bolinhas e pauzinhos:
- Representamos cada unidade escolhida (sorvete) como uma bolinha. Desta forma, como precisamos escolher 7 sorvetes, teremos 7 bolinhas.
- Para separar as escolhas entre os sabores, usamos pauzinhos. Assim, como precisamos separar em 4 partes (tipos de sorvetes que queremos levar), pois temos 4 incógnitas, utilizaremos três pauzinhos.
Dica: a quantidade de pauzinhos é exatamente a quantidade de sinais de + presentes na equação.
Agora, precisamos saber o que fazer com essas bolinhas e pauzinhos, não é mesmo? Para isso observe a imagem a seguir:
A ideia deste método está em separar as incógnitas com os pauzinhos (no lugar do +), assim a quantidade de bolinhas à esquerda do primeiro pauzinho representa a incógnita \(x_1\); entre os dois próximos pauzinhos, a incógnita \(x_2\), entre os dois próximos pauzinhos a incógnita \(x_3\) e, por fim, à direita do último pauzinho, a incógnita \(x_4\). Portanto, na imagem anterior, temos \(x_1=2\), \(x_2=2\), \(x_3=2\) e \(x_4=1\), totalizando exatamente \(2+2+2+1=7\).
Vamos ver mais com a imagem a seguir:
Nesta imagem, podemos deduzir que \(x_1=0\), pois não há nenhuma bolinha à esquerda do primeiro pauzinho, \(x_2=2\), \(x_3=4\) e \(x_4=1\), totalizando também \(0+2+4+1=7\).
Agora, basta a gente saber de quantos modos podemos arrumar em fila as 7 bolinhas e os 4 pauzinhos, pois cada forma gera uma solução para equação. Mas isso pode ser feito utilizando a teoria de permutação (embaralhar) com elementos repetidos, já que temos 7 bolas iguais e 3 pauzinhos iguais.
Logo, o número de modos de de fazer isso é
\[ P_{7+4}^{7,4}=P_{11}^{7,4}=\frac{11!}{7!4!}=C_{11,7}=330. \]
Portanto, há 330 maneiras de comprarmos 7 sorvetes em um lugar que os oferece em apenas 4 sabores.
Para quem gosta de fórmulas
No exemplo anterior, temos 7 bolinhas (sorvetes) e 4 pauzinhos (separações entre os sabores), resultando em um total de 11 elementos. A quantidade de combinações possíveis é dada pela fórmula:
CR_{n,p}=\left(\begin{array}{c}
n+p-1 \\
p \\
\end{array}\right)=\frac{(n + p – 1)!}{p!(n – 1)!}
\]
onde \(n = 7\) (sabores) e \(p = 4\) (sorvetes). Assim, obtemos 330 maneiras diferentes de escolher os sorvetes.
Exercícios Práticos
1. Quantas maneiras existem de escolher 5 doces entre 3 tipos diferentes, permitindo a repetição de sabores?
- Resolução: Considere cada tipo de doce como uma variável \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\). Queremos resolver \(x_1 + x_2 + x_3 = 5\), onde \(x_i \geq 0\).
Em termos de bolinhas e pauzinhos, teremos 5 bolinhas (quantidade se doces) e 2 pauzinhos (sinais de +). Logo, o número de modos é
\[ C_{7,5}=21. \]
2. Quantas maneiras existem de distribuir 8 bolas em 4 caixas, permitindo caixas vazias?
- Resolução: Aqui temos 8 bolas e 4 caixas, então o problema se traduz em encontrar as soluções inteiras para \(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 8\), onde \(x_i \geq 0\).
Conclusão
Com as combinações completas, expandimos as possibilidades ao permitir a repetição dos elementos. Isso é especialmente útil em problemas onde temos escolhas com restrições mínimas e queremos explorar todas as configurações possíveis.
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