Sejam \(A\) e \( B\) duas matrizes. Para que exista o produto \( A\cdot B\) o número de colunas da matriz \( A\) deve ser igual ao número de linhas da matriz \( B\).
O produto da matriz \( A=(a_{ik})_{n\times p}\) pela matriz \( B=(a_{kj})_{p\times m}\) é a matriz \( C=(a_{ij})_{n\times m}\) tal que cada elemento \( c_{ij}\) de \(C\) é igual à soma dos produtos dos elementos da i-ésima linha de \( A\) pelos correspondentes da j-ésima coluna de \( B\) . A ordem da matriz produto \( A\cdot B\) será o número de linhas da matriz $latex A$ pelo número de colunas da matriz \( B\).
Exemplo:
Dadas as matrizes \(
A =
\left[
\begin{array}{ccc}
2 & 3 & 2 \\
1 & 2 & 1
\end{array}
\right]_{2\times 3}
\) e \(
B =
\left[
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
1 & 1 & 4 \\
-1 & 3 & 5
\end{array}
\right]_{3\times 3}
\), obter o produto \( A\cdot B\).
Resolução:
Observe que o produto de \( A\) com \( B\) fica bem definido, pois o número de colunas da matriz \(A \) é igual ao número de linhas da matriz \( B\). Assim, a ordem do produto \( A\cdot B\) é dada pelo número de linhas da matriz \( A\) pelo número de colunas da matriz \( B\), ou seja, \( 2\times 3\).
Determinação de \( c_{11}\): Primeira linha da matriz A com a primeira coluna da matriz B.
Determinação de \(c_{12}\): Primeira linha da matriz A com a segunda coluna da matriz B.
Determinação de \( c_{13}\): Primeira linha da matriz A com a terceira coluna da matriz B.
Determinação de \( c_{21}\): Segunda linha da matriz A com a primeira coluna da matriz B.
Determinação de \( c_{22}\): Segunda linha da matriz A com a segunda coluna da matriz B.
Determinação de \( c_{23}\): Segunda linha da matriz A com a terceira coluna da matriz B.
Portanto,
Observação
É muito importante saber que a multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, a ordem dos fatores altera o produto, pelo menos na maioria dos casos. Assim, é sempre bom lembrar que \(A\cdot B\neq B\cdot A\).