Olá pessoal, tudo chiq10 com vocês? Saber resolver uma equação do 1º grau com uma incógnita é fundamental. Devemos saber assim como sabemos a tabuada do 2, ou seja, aprender para ser automático.
Então, para quem pretende realizar os vestibulares, ENEM ou concursos públicos, dominar as equações do 1º grau é importantíssimo!! Bora lá!!
O que é uma equação do 1º Grau?
Denomina-se equação do 1º grau com uma incógnita toda equação que pode ser reduzida à forma
\(ax+b=0\), com \(a\neq 0.\)
Na equação \(ax+b=0\), \(a\) e \(b\) são denominados coeficientes da equação, enquanto \(x\) é a incógnita da equação.
Exemplos:
a) \(3x+10=0\) é uma equação do 1º grau na incógnita \(x\), pois é da forma \(ax+b=0\), com \(a\neq 0\).
b) \(6x-29=61\) é uma equação do 1º grau na incógnita \(x\), pois pode ser reduzida à forma \(6x-90=0\).
c) \(3x=0\) é uma equação do 1º grau na incógnita \(x\), pois é da forma \(ax+b=0\), com \(a\neq 0\). Neste exemplo tem-se \(b=0\). Vale lembrar que apenas o coeficiente \(a\) deve ser diferente de zero.
d) \(2x^2+5=0\) não é uma equação do 1º grau, pois não pode ser reduzida à forma \(ax+b=0\).
e) \(2x+3y=1\) não é uma equação do 1º grau com uma incógnita. Este exemplo trata-se de uma equação do primeiro grau com duas incógnitas.
Resolução de uma equação do 1º grau com uma incógnita
Como se sabe, resolver uma equação consiste em determinar o valor da incógnita que torna a equação uma sentença verdadeira.
Por exemplo, na equação \(2x+2=8\), se substituir \(x\) por 3 ela se transforma em \(2\cdot \mathbf{3}+2=8\), que é uma sentença verdadeira, uma vez que \(8=8\). Nestas condições diz-se então que \( \mathbf{3}\) é uma raiz (ou uma solução) da equação \(2x+2=8\).
Observe a seguinte resolução da equação \(2x+2=8\):
Na prática, resolver uma equação do 1º grau com uma incógnita consiste em realizar operações inversas com o objetivo de isolar a incógnita \(x\), deixando o(s) termo(s) com a letra de um lado e o(s) termo(s) numérico(s) do outro.
Exemplo:
Resolva as equações a seguir.
1. \(5x+50=3x+290\)
2. \(3z-20=z+80\)
Equações com parênteses
Para resolver equações que envolvem parênteses, basta usar a propriedade distributiva, conforme o exemplo a seguir:
Exemplo:
Resolva as equações a seguir.
1. \(5(x-2)=4-(-2x+1)\)
2. \(2(2x-4)=10-(x+8)\)
Equações com frações
A etapa mais importante na resolução de equações com frações é igualar os denominadores usando a técnica do MMC.
Exemplo:
Resolva as equações a seguir.
1. \(\frac{2}{9}-\frac{x}{6}=2\)
2. \(\frac{x}{6}-\frac{3(x-4)}{5}=2-\frac{x-1}{10}\)
Problemas de equação do 1º grau
Quem nunca ouviu ou disse a seguinte frase…”eu até sei fazer as contas, mas interpretar é muito difícil”… Eu como professor, já perdi as contas de quantas vezes já ouvi tal frase.
Concordo que interpretar não é uma tarefa fácil, porém com um bom treino a gente pega o jeito e os exercícios começam a sair de maneira mais simples e natural, pois querendo ou não, as perguntas são sempre as mesmas mudando apenas o enredo dos problemas. Então, bora ver algumas estratégias de como resolver os temidos exercícios problemas.
Veja algumas dicas importantes que podem ajudar no processo de aprendizagem da interpretação.
Hora de colocar a mão na massa!!
Problema 1:
Pedro distribuiu 21 figurinhas para três amigos da seguinte forma: Lúcio recebeu 5 figurinhas a menos do que Alberto, e Carlos recebeu o dobro de Lúcio. Quantas figurinhas recebeu cada um?
Resolução:
Embora tenha-se informação sobre três pessoas, é importante perceber que as informações são dadas tomando o Lúcio como referência. Assim, é interessante trabalhar utilizando apenas o Lúcio. Deste modo, chamando de \(x\) o número de figurinhas que Lúcio recebeu, tem-se
- \(x+5\): número de figurinhas que recebeu Alberto;
- \(2x\): número de figurinhas que recebeu Carlos.
- A quantidade de figurinhas de todos totaliza 21, quantidade distribuída por Pedro.
Portanto, o problema pode ser equacionado da seguinte maneira: \( (x+5)+2x+x=21 \), cuja solução é
Logo, Lúcio recebeu 4 figurinhas, Alberto 9 figurinhas, enquanto que Carlos recebeu 8 figurinhas.
Problema 2:
Três pessoas devem dividir uma certa quantia, de modo que a primeira receba 2/3 do total menos R$ 600,00. A segunda deve receber 1/4 do total e a terceira a metade menos R$ 4.000,00. Calcular a quantia que cada pessoa deve receber.
Resolução:
Problema bem parecido com o anterior, porém a nossa referência é o valor total a ser dividido. Assim, chamando de \(\mathbf{T}\) o valor total, tem-se:
- A primeira pessoa recebeu: \(\frac{2}{3}T-600\)
- A segunda pessoa recebeu: \(\frac{1}{4}T\)
- A terceira pessoa recebeu: \(\frac{1}{2}T-4000\)
- A quantidade recebida pelas três pessoas totaliza o total, ou seja, \(T\).
Logo, o problema pode ser equacionado da seguinte maneira: \(\frac{2}{3}T+\frac{1}{4}T+\frac{1}{2}T=T\), cuja solução é
Portanto, sendo \(T=11040\), a primeira pessoa recebeu \(\frac{2}{3}\cdot 11040 – 600 = 6760\), a segunda pessoa recebeu \(\frac{1}{4}\cdot 11040=2760\), enquanto a terceira pessoa recebeu \(\frac{1}{2}\cdot 11040-4000=1520\).
Problema 3:
FUVEST 2021 – Uma treinadora de basquete aplica o seguinte sistema de pontuação em seus treinos de arremesso à cesta: cada jogadora recebe 5 pontos por arremesso acertado e perde 2 pontos por arremesso errado. Ao fim de 50 arremessos, uma das jogadoras contabilizou 124 pontos. Qual a diferença entre as quantidades de arremessos acertados e errados dessa jogadora?
Resolução:
Nesta questão, é interessante perceber que, embora haja duas variáveis para serem descobertas, arremessos certos e errados, pode-se resolver utilizando apenas uma incógnita. Pois, se denotar por \(x\) a quantidade de arremessos certos, tem-se que \(50-x\) é a quantidade de arremessos errados, uma vez que o total (arremessos certos mais arremessos errados) é de 50. Logo,
- \(x\): número de arremessos certos
- \(50-x\): número de arremessos errados
- 124: pontuação total
Como, para cada arremesso certo, recebe-se 5 pontos, e para cada arremesso errado, perde-se 2 pontos, pode-se equacionar o problema da seguinte maneira: \(5\cdot x-2\cdot (50-x)=124\), cuja solução é
Sendo 50 o total, a quantidade de arremessos errados é de \(50-32=18\). Portanto, a diferença entre as quantidades de arremessos acertados e errados é de \(32-18=14\), finalizando nosso problema.
Bom pessoal, agradeço a leitura. Agora é só acrescentar mais técnicas com os exercícios de sistema de equações do primeiro grau e também problemas de equação do segundo grau!! Espero ter ajudado cada um que precisou e chegou até aqui!!
Grande Abraço.