Equações Polinomiais (Algébricas)
Definição: Chama-se equação polinomial ou equação algébrica toda equação que pode ser reduzida à forma:
\[
P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0
\]
Exemplo:
\(
x^3 + x^2 – x – 1 = 0
\)
\(
5x^5 – 5x^4 – 80x + 80 = 0
\)
Raiz de uma equação polinomial
Dada uma equação polinomial \(P(x) = 0\), chama-se raiz da equação todo número que, substituído em lugar de \(x\), torna a sentença verdadeira.
Exemplo:
A equação \(
x^3 + x^2 – x – 1 = 0
\) possui \(x=1\) como raiz, pois \( 1^3+1^2-1-1=1+1-1-1=0\). Note que \(x=2\) não é raiz uma vez que \(2^3+2^2-2-1=8+4-2-1=9\neq 0\).
Claro, a “maior” das dificuldades em uma equação de grau superior a dois encontrar as suas raízes e para tanto conheceremos algumas técnicas a partir dos próximos posts!
Conjunto solução
Chama-se conjunto solução ou conjunto verdade da equação \(P(x) = 0\) em \(\mathbb{C}\) o conjunto \(S\) cujos elementos são as raízes complexas da equação.
Exemplo:
Ainda, com relação a equação \( x^3 + x^2 – x – 1 = 0 \), temos que \(x=-1\) também é raiz pois \( (-1)^3+(-1)^2-(-1)-1=-1+1+1-1=0\). Por ora, acredite que \(x=\pm 1\) são suas únicas raízes, sendo \(x=-1\) uma raiz dupla.
Desta forma seu conjunto solução, muitas vezes denotado por \(S\), é dado por \(S={-1,1}\).
OBS: Resolver uma equação polinomial é obter o seu conjunto verdade.
Teorema Fundamental da Álgebra
- O Teorema acima, a nível de Ensino Médio, é aceito como verdadeiro sem necessidade de prova, uma vez que sua demonstração é demasiadamente complexa para tal momento de estudo. Porém, nada impede de você ser curioso e buscar dá uma olhadinha na demonstração. Alerta crítico! Você pode se encantar pela matemática e não ter mais volta. rsrs
Teorema da decomposição
Todo polinômio \(P\) de grau \(n\) (\(n \geq 1\))
\[
P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_2x^2 + a_1x + a_0 \quad \text{onde } a \neq 0
\]
pode ser decomposto em \(n\) fatores do primeiro grau, isto é:
\[
P(x) = a_n(x – x_1)(x – x_2) \dots (x – x_n)
\]
em que \(x_1, x_2, \dots, x_n\) são as raízes de \(P(x)\).
Exemplo:
Fatore \(P(x) = 5x^5 – 5x^4 – 80x + 80\) sabendo que suas raízes são \(1\), \(-2\), \(2\), \(-2i\) e \(2i\).
Resolução:
Nas condições do Teorema da decomposição, temos que
\(n=5\), \(a_n=a_5=5, \: x_1=1, x_2=-2, x_3=2, x_4=-2i \) e \(x_5=2i\).
Assim
\[P(x)=a_5(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)(x-x_5)=5(x-1)(x+2)(x-2)(x+2i)(x-2i)\]
- O Teorema Fundamental da Álgebra, junto com o Teorema da Decomposição, nos garante que toda equação de grau \(n>1\) possui ao menos uma solução e que se considerarmos as multiplicidades de cada raiz temos exatamente \(n\) raízes, no corpo dos Complexos.
- Ao longo dos posts você aprenderá como encontrar tais raízes visando sempre questões dos nossos principais vestibulares.
Exercícios:
1. Dada a equação \( (x-1)(x^3-4x+a) = (x^2-1)^2 \):
a) Coloque-a na forma \(P(x) = 0\).
b) Obtenha \(a\) sabendo que \(2\) é uma das raízes da equação.
2. Resolva em \(\mathbb{C}\) a equação \(x^4-5x^2-10x-6=0\) sabendo que duas raízes são \(-1\) e \(3\).
3. Determine o polinômio \(P(x)\) do 3º grau cujas raízes são \(0\), \(1\) e \(2\), sabendo que \( P\left(\frac{1}{2}\right)=-32. \)
4. Determine todas as raízes da equação \(P(x) = 0\) sendo \(P(x) = 9x^3-36x^2+29x-6\). Sabe-se que esse polinômio é divisível por \(x-3\).
Este material, foi produzido a partir da referência:
IEZZI, G. Fundamentos de matemática elementar, 6: complexos, polinômios, equações. 8 ed. São Paulo: Atual, 2013.