Olá pessoal, tudo bem com vocês?
Neste tópico abordo com vocês uma das principais notações da matemática, o fatorial de um número natural. Notação de grande uso no estudo da Análise Combinatória e probabilidade, que será assunto dos próximos posts.
1. Fatorial de um número natural
Seja \(n\) um número natural maior que 1, o fatorial de \(n\), denotado por \(n!\), é definido por
Em palavras, o fatorial de um número natural é definido como sendo a multiplicação sucessiva deste natural pelo seu antecessor, antecessor do antecessor e assim por diante, terminando com o número 1.
Por exemplo:
\( \displaystyle 5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 \)
Note que \(5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=5\cdot 4!\), deste modo a definição acima pode ser dada, também, da seguinte maneira:
\( \displaystyle n!=n\cdot(n-1)! \)
Esta definição permite compreender um importante fatorial, a saber, o \(1!\).
Uma vez que \(2!=2\cdot 1\), de acordo com a primeira definição, e \(2!=2\cdot 1!\), de acordo com a segunda definição, tem-se
Para finalizar, tem-se por definição que \(0!=1\).
Portanto, para todo natural \(n\), tem-se
Exercício resolvido:
Resolução:
Aplicando a definição de fatorial no primeiro membro da igualdade, tem-se
Simplificando, obtém-se
Logo
Resolvendo a equação, obtém-se
Nos próximos tópicos, sobre análise combinatória, aparecerá com grande frequência o uso do fatorial, portanto fique atento aos próximos conteúdos interessantes que estão por vir.
Um grande abraço e a gente se vê em um próximo tópico.