Função Afim: Definição e Gráfico
Definição
Seja \(f:R\rightarrow R\) uma função definida por \( f(x) = ax + b \), em que \( a \) e \( b \) são constantes reais. Nestas condições, \( f \) é chamada de função afim. Em muitos livros, para \(a\neq 0\), \(f(x)=ax+b\) é denominada função polinomial do 1º grau.
Exemplos
- \( f(x) = -3x + 4 \)
- \( f(x) = 8x \)
- \( f(x) = x + 3 \)
- \( f(x) = 4 \)
Classificação
A função afim pode ser classificada de diferentes maneiras:
a) Função Polinomial do Primeiro Grau (\(a\neq 0\))
Exemplos:
- \( f(x) = 3x + 7 \)
- \( f(x) = -2x \)
b) Funções Lineares (\(b=0\) e \(a\neq 0\))
Exemplos:
- \( f(x) = 2x \)
- \( f(x) = -7x \)
c) Função Identidade (\(a=1\) e \(b=0\))
Exemplo:
- \( f(x) = x \)
d) Funções Constantes (\(a=0\))
Exemplos:
- \( f(x) = 2 \)
- \( f(x) = -3 \)
Gráfico de uma Função Afim
O gráfico de uma função afim \( f(x) = ax + b \), é uma linha reta não vertical e apresentará um dos seguintes formatos, variando apenas a inclinação da reta.
Propriedades
Raiz ou zero da função
Na função \(f(x)=ax+b\). O zero da função é o valor de \( x \) que torna \(f(x)=0 \). Logo
\[f(x)=0\Leftrightarrow ax+b=0 \Leftrightarrow x=-\frac{b}{a}\]
Assim, o gráfico da função afim, com \(a\neq 0\), sempre corta o eixo das abscissas no ponto de coordenadas \(\left(-\frac{b}{a},0\right)\).
Coeficiente linear
Na função \(f(x) = ax + b\), o número \(b\) é chamado de coeficiente linear ou valor inicial da função. Ele indica o ponto onde a reta corta o eixo \(y\) (eixo das ordenadas). Basta substituir \(x = 0\) na função para encontrar esse ponto:
\[f(0) = a \cdot 0 + b = b\]
Isso significa que o ponto \((0, b)\) é a interseção da reta com o eixo \(y\).
Em problemas de aplicação o coeficiente linear sempre será o valor “considerado fixo”, como no exemplo adaptado do vestibular da Uem 2025 a seguir;
O custo de armazenamento de dados na nuvem de um provedor é constituído por um valor fixo \(C_0\), mais um valor que varia proporcionalmente à quantidade (em terabytes – TB) de dados armazenados. Para armazenar 36TB de dados, o custo é de R$8.250,00; para armazenar 28TB de dados, o custo é de R$7.250,00. Escreva a lei de formação que fornece o custo de armazenamento em função da quantidade de terabytes.
No exemplo anterior, mesmo não tendo o valor de forma direta, o coeficiente \(b\) será o valor fixo \(C_0\). Após a apresentação da taxa de variação (coeficiente angular) voltaremos nesse exemplo para resolvê-lo.
Coeficiente angular (taxa de variação)
Considere dois pontos \(A(x_A, y_A)\) e \(B(x_B, y_B)\) pertencentes à reta do gráfico da função \(f(x) = ax + b\). Podemos calcular a razão entre a variação de \(y\) e a variação de \(x\), isto é:
\[
\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_B – y_A}{x_B – x_A}
\]
Substituindo os valores da função, temos:
\[
\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{y_B – y_A}{x_B – x_A} = \frac{(a x_B + b) – (a x_A + b)}{x_B – x_A}
\]
Simplificando:
\[
\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{a(x_B – x_A)}{x_B – x_A}
\]
Cancelando os termos:
\[
\frac{\Delta y}{\Delta x} = a
\]
Portanto, o coeficiente angular \(a\) é justamente a razão entre a variação de \(y\) e a variação de \(x\), ou seja, a inclinação da reta. Esse valor também corresponde à tangente do ângulo \(\alpha\) que a reta faz com o eixo \(x\):
\[
a = \tan(\alpha)
\]
Podemos agora resolver o exemplo anterior.
(Uem 2025 – Adaptada) O custo de armazenamento de dados na nuvem de um provedor é constituído por um valor fixo \(C_0\), mais um valor que varia proporcionalmente à quantidade (em terabytes – TB) de dados armazenados. Para armazenar 36TB de dados, o custo é de R$8.250,00; para armazenar 28TB de dados, o custo é de R$7.250,00. Escreva a lei de formação que fornece o custo de armazenamento em função da quantidade de terabytes.
Resolução do exemplo
Seja \(C(x)\) a função que fornece o custo de armazenamento (em reais) em função da quantidade de terabytes (\(x\)) armazenados. Essa função é do tipo:
\[
C(x) = a x + b
\]
em que:
– \(a\) é o coeficiente angular (taxa de variação), ou seja, o custo por terabyte armazenado;
– \(b\) é o coeficiente linear, que representa o custo fixo \(C_0\).
Passo 1: Calcular o coeficiente angular
Utilizando os dois pontos fornecidos:
– Para 36TB, o custo é R$8.250: ponto \((36, 8250)\);
– Para 28TB, o custo é R$7.250: ponto \((28, 7250)\).
Calculamos a taxa de variação:
\[
a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{8250 – 7250}{36 – 28} = \frac{1000}{8} = 125
\]
Portanto, o custo por terabyte é de R$125,00.
Passo 2: Determinar o coeficiente linear
Utilizando um dos pontos, por exemplo \((36, 8250)\), substituímos na fórmula \(C(x) = 125x + b\) para encontrar \(b\):
\[
8250 = 125 \cdot 36 + b
\]
\[
8250 = 4500 + b
\]
\[
b = 8250 – 4500
\]
\[
b = 3750
\]
Portanto, o custo fixo é de R$3.750,00.
Passo 3: Escrever a função
A função que representa o custo de armazenamento é:
\[
C(x) = 125x + 3750
\]
Interpretação dos coeficientes:
– O coeficiente \(125\) indica que o custo aumenta R$125,00 para cada terabyte adicional armazenado;
– O coeficiente \(3750\) representa o custo fixo, isto é, o valor pago independentemente da quantidade de dados armazenados, por isso que muitas vezes o coeficiente \(b\) é chamado de valor inicial.
Gráficos Especiais
- Funções Lineares: São representadas por retas que passam pela origem.
- Função Identidade: São retas que passam pela origem e formam um ângulo de 45° com o eixo \( x \).
- Funções Constantes: São representadas por retas horizontais.
Construção do Gráfico
Para construir esses gráfico, basta encontrar dois pontos distintos que satisfaçam a lei de formação da função.
Exemplo 1:
Considere a função \( f(x) = 2x – 4 \). Para construir seu gráfico, escolha valores de \( x \) e calcule \( f(x) \) para encontrar os pontos a serem plotados.
Exemplo 2: Construção do Gráfico
Considere a função \( f(x) = -3x + 2 \). Siga o mesmo processo para construir o gráfico desta função.
Exemplo Prático
Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos (2,3) e (3,5). Resolva encontrando a inclinação e substituindo em \( f(x) = ax + b \).
Aplicações Práticas e Exercícios para Fixação
(UNESP 2023) Em um município, a conta de água residencial é composta por um valor fixo de R$4,00 somado a um valor variável, de acordo com o consumo de água da residência. O valor variável é composto da seguinte forma: M reais por metro cúbico de água até o consumo de \(12\,m^3\) e N reais por metro cúbico de água que exceda \(12\,m^3\). O gráfico descreve a composição do valor da conta de água residencial nesse município.
A análise dessas informações permite concluir que os valores, em reais, de M e N são, respectivamente:
a) 2 e 10.
b) 3 e 9.
c) 3 e 8.
d) 2 e 8.
e) 3 e 10.
Resolução detalhada
Primeiramente, observe que a conta de água é composta por um valor fixo de R$ 4,00, mais um valor que depende diretamente da quantidade de água consumida. Esse valor variável é calculado de duas formas, dependendo se o consumo é até 12 \(m^3\) ou excede esse valor.
No contexto da função afim, a taxa de variação é justamente o coeficiente angular da reta, ou seja, representa o quanto o valor da conta aumenta para cada unidade a mais de consumo.
Cálculo de M:
Escolhemos dois pontos no trecho até 12 \(m^3\). Observando o gráfico:
– Para 0 \(m^3\), o valor da conta é R$ 4,00 (isso corresponde ao valor fixo).
– Para 12 \(m^3\), o valor da conta é R$ 40,00.
Aplicando a fórmula da taxa de variação:
\[
M = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{40 – 4}{12 – 0} = \frac{36}{12} = 3
\]
Portanto, até 12 \(m^3\), a conta aumenta R$ 3,00 por metro cúbico de água consumido.
Cálculo de N:
Agora analisamos o trecho acima de 12 \(m^3\). Pegamos dois pontos desse trecho no gráfico:
– Para 12 \(m^3\), a conta é R$ 40,00.
– Para 16 \(m^3\), a conta é R$ 80,00.
Aplicando novamente a fórmula da taxa de variação:
\[
N = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{80 – 40}{16 – 12} = \frac{40}{4} = 10
\]
Portanto, acima de 12 \(m^3\), a conta aumenta R$ 10,00 por metro cúbico excedente.
Conclusão:
Os valores de M e N são, respectivamente:
\[
M = 3 \quad \text{e} \quad N = 10
\]
Portanto, a alternativa correta é: (E)
(FUVEST 2023) Duas empresas de entrega de mercadorias, A e B, são concorrentes. A empresa A cobra R\$4,00 por quilo da encomenda e mais R\$30,00 de taxa fixa. Já a tarifa da empresa B é de R\$6,00 por quilo, sem taxa fixa, para encomendas de até 30 quilos; para encomendas de mais de 30 quilos, a empresa B cobra R\$2,00 por quilo, mais uma taxa fixa de R\$120,00.a) Dê a expressão da função que descreve a tarifa cobrada pela empresa A em termos do peso \(x\) da encomenda.
b) Para qual intervalo de pesos é mais barato pedir uma entrega pela empresa A do que pela empresa B?
c) Um cliente solicitou duas encomendas: uma entregue pela empresa A, e outra, pela empresa B, com peso total de 200 quilos. Quais são as possíveis maneiras de distribuir esse peso entre as duas empresas, sabendo que a tarifa de entrega total foi de R\$850,00?
Resolução detalhada
Item a)
A tarifa cobrada pela empresa A é composta por um valor fixo de R$ 30,00 mais um valor proporcional ao peso da encomenda, sendo R$ 4,00 por quilo. Assim, a expressão da função que descreve essa tarifa, em função do peso \(x\), é:
\[
y_A = 4x + 30
\]
Item b)
A tarifa da empresa B possui duas situações:
– Para encomendas de até 30 quilos, a empresa cobra R$ 6,00 por quilo, sem taxa fixa. A função é:
\[
y_B = 6x, \text{ para } x \leq 30
\]
– Para encomendas acima de 30 quilos, a empresa cobra R$ 2,00 por quilo, mais uma taxa fixa de R$ 120,00. A função é:
\[
y_B = 2x + 120, \text{ para } x > 30
\]
Agora, vamos determinar os pontos de equilíbrio, ou seja, os valores de \(x\) em que as tarifas das empresas são iguais.
Primeiro ponto de equilíbrio: quando a tarifa da empresa B ainda está no primeiro patamar (\(x \leq 30\)).
Igualamos as funções:
\[
4x + 30 = 6x
\]
\[
30 = 6x – 4x
\]
\[
30 = 2x
\]
\[
x = 15
\]
Segundo ponto de equilíbrio: quando a empresa B passa para o segundo patamar (\(x > 30\)).
Igualamos as funções:
\[
4x + 30 = 2x + 120
\]
\[
4x – 2x = 120 – 30
\]
\[
2x = 90
\]
\[
x = 45
\]
Portanto, o intervalo em que a tarifa da empresa A é mais barata do que a da empresa B é:
\[
15 < x < 45
\]
Item c)
Sejam \(x\) e \(y\) os pesos das encomendas feitas na empresa A e na empresa B, respectivamente, de modo que o peso total seja 200 kg. Temos o sistema:
\[
x + y = 200
\]
Analisamos dois cenários possíveis, dependendo se a encomenda da empresa B está no primeiro ou no segundo patamar de tarifação.
Caso 1: empresa B no primeiro patamar (\(y \leq 30\)).
O sistema de equações é:
\[
\begin{cases}
x + y = 200 \\
4x + 30 + 6y = 850
\end{cases}
\]
Substituímos \(y = 200 – x\) na segunda equação:
\[
4x + 30 + 6(200 – x) = 850 \Leftrightarrow 4x + 30 + 1200 – 6x = 850
\]
\[
-2x + 1230 = 850 \Leftrightarrow -2x = 850 – 1230 \Leftrightarrow -2x = -380
\]
\[
x = 190 \Leftrightarrow y = 200 – 190 = 10
\]
Caso 2: empresa B no segundo patamar (\(y > 30\)).
O sistema de equações é:
\[
\begin{cases}
x + y = 200 \\
4x + 30 + 2y + 120 = 850
\end{cases}
\]
Simplificando a segunda equação:
\[
4x + 2y + 150 = 850
\]
\[
4x + 2y = 700
\]
Dividimos ambos os lados por 2:
\[
2x + y = 350
\]
Substituímos \(y = 200 – x\):
\[
2x + (200 – x) = 350
\Leftrightarrow
2x + 200 – x = 350
\]
\[
x + 200 = 350
\Leftrightarrow
x = 350 – 200
\Leftrightarrow
x = 150
\Leftrightarrow
y = 200 – 150 = 50
\]
Conclusão:
Portanto, é possível distribuir as massas das encomendas de duas formas:
– 190 kg na empresa A e 10 kg na empresa B (quando a empresa B está no primeiro patamar);
– 150 kg na empresa A e 50 kg na empresa B (quando a empresa B está no segundo patamar).
Agora, bora saber como aparece função afim no ENEM!
(ENEM 2025 ) Uma empresa produz mochilas escolares sob encomenda. Essa empresa tem um custo total de produção, composto por um custo fixo, que não depende do número de mochilas, mais um custo variável, que é proporcional ao número de mochilas produzidas. O custo total cresce de forma linear, e a tabela apresenta esse custo para três quantidades de mochilas produzidas.
O custo total, em real, para a produção de 80 mochilas será:
a) 2400,00.
b) 2520,00.
c) 2550,00.
d) 2700,00.
e) 2800,00.
Resolução detalhada:
Como o custo cresce de forma linear, podemos determinar a sua função na forma \(y = ax + b\), utilizando os pontos \((30, 1050)\) e \((50, 1650)\).
Montamos o sistema:
\[
\begin{cases}
1050 = 30a + b \\
1650 = 50a + b
\end{cases}
\]
Subtraindo as equações:
\[
(50a + b) – (30a + b) = 1650 – 1050
\]
\[
20a = 600
\Leftrightarrow
a = 30
\]
Substituímos o valor de \(a\) na primeira equação:
\[
1050 = 30 \cdot 30 + b
\]
\[
1050 = 900 + b
\Leftrightarrow
b = 1050 – 900
\Leftrightarrow
b = 150
\]
Portanto, a função que representa o custo é:
\[
y = 30x + 150
\]
Calculando o custo para a produção de 80 mochilas:
\[
y = 30 \cdot 80 + 150
\Leftrightarrow
y = 2400 + 150
\Leftrightarrow
y = 2550
\]
Resposta correta: (B)
Conclusão
A compreensão das funções afins é fundamental para diversos cálculos e aplicações matemáticas. Saber identificar e construir seus gráficos é uma habilidade importante para o estudo de funções e suas propriedades.
Espero que este artigo tenha sido útil. Pratique com os exemplos e explore mais o tema e suas aplicações!
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