Multiplicidade de uma raiz
Exemplo:
Considere a equação polinomial \( (x – 3)(x + 1)^2(2x – 4)^3 = 0 \).
Note que:
\[(x – 3)(x + 1)^2(2x – 4)^3= 0
\Longrightarrow \left\{\begin{array}{l}
x – 3 = 0 \\
x + 1 = 0 \\
2x – 4 = 0
\end{array}\right.
\Longrightarrow \left\{\begin{array}{l}
x = 3 \\
x = -1 \\
x = 2
\end{array}\right.
\]
Tal equação possui seis raízes, sendo uma igual a 3 (raiz simples – expoente 1 do fator \( (x-3)\), duas iguais a -1 (raiz dupla – expoente 2 do fator \( (x+1)\)) e três iguais a 2 (raiz tripla – expoente 1 do fator \( (2x-4)\)).
Definição:
Dizemos que \( r \) é raiz de multiplicidade \( m \) (\( m > 1 \)) da equação \( P(x) = 0 \) se, e somente se:
\[
P(x) = (x – r)^m \cdot Q(x) \quad \text{com} \quad Q(r) \neq 0.
\]
– Quando \( m = 1 \), dizemos que \( r \) é raiz simples;
– Quando \( m = 2 \), dizemos que \( r \) é uma raiz dupla;
– Quando \( m = 3 \), dizemos que \( r \) é uma raiz tripla, e assim por diante.
Exercícios
1. Determine todas as raízes e suas respectivas multiplicidades nas equações a seguir:
a) \(
3x + 4x^2 – 1 = 0
\)
b) \(
x^2 + x + 13(7x – 14i)^5 = 0
\)
2. Determine a multiplicidade da raiz \( r = 1 \) na equação:
\[
x^5 – 2x^4 + x^3 – x^2 + 2x – 1 = 0.
\]
3. Resolva a equação \( x^4 – 4x^3 + 8x^2 – 16x + 16 = 0 \) sabendo que \( 2 \) é sua raiz dupla.
4. Qual deve ser o valor de \( m \) para que a equação algébrica:
\[
x^3 – (4 + m)x^2 + (4 + 4m)x – 4m = 0.
\] admita o valor 2 como raiz dupla?