Permutações
Permutações Simples
Nas Olimpíadas Rio 2016, teve-se a seguinte classificação final no quadro de medalhas, levando em consideração apenas os dez primeiros colocados.
Uma interessante pergunta, pelo menos para o mero autor aqui, seria: de quantos modos é possível classificar todas essas dez delegações?
Note que tem-se 10 modos de escolher a delegação que ocupará o primeiro lugar, 9 modos de escolher a delegação que ocupará o segundo lugar, 8 modos de escolher a delegação que ocupará o terceiro lugar, até que se tenha 1 modo de escolher a delegação que ocupará o último lugar, no caso, a décima posição. Assim, o número de modos distintos que tem-se para ordenar as 10 delegações, pelo Princípio Fundamental da Contagem, é
\(10 \times 9 \times 8\times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=3.628.000.\)
Para se ter noção de quão grande é esse resultado, imagine que a pessoa que edita a classificação no computador demore cerca de 1 minuto para ordenar cada uma dessas classificações, então ela levaria cerca de 2.520 dias para expor todos os modos possíveis. Impossível??
Bom, de modo geral, dados \(n\) elementos distintos \(a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n\), tem-se \(n\) modos de escolher o elemento que ocupará a primeira posição, \(n-1\) modos de escolher o que ocupará a segunda posição, \(n-2\) modos de escolher o que ocupará a terceira posição, assim até que se tenha 1 modo de escolher o elemento que ocupará a última posição.
Cada modo escolhido entre todos os possíveis é denominado permutação simples dos \(n\) elementos, e o número de permutações simples de \(n\) elementos distintos é denotado por \(P_n=n!\).
Veja alguns exemplos de aplicação.
Exemplo 1:
Denomina-se ANAGRAMA qualquer palavra formada pela permutação das letras de uma outra palavra. Deste modo, determine:
a) quantos são os anagramas da palavra DECLINAR?
Note que DECLINAR possui 8 letras, que fazem o papel dos elementos, assim o número de anagramas (permutações) dessas 8 letras é
\(8\times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=40.320.\)
b) quantos são os anagramas que começam e terminam por consoante?
Neste tipo de problema, deve-se começar pelas decisões com maiores restrições, neste caso, pelas consoantes.
A consoante inicial pode ser escolhida de 5 maneiras, enquanto a consoante final de 4 maneiras (pois uma já foi escolhida), e por fim, as 6 letras restantes podem ser arrumadas entre as consoantes de \(P_6=6!\) maneiras. Portanto, há \(5\times 4\times 6!=14.400\) anagramas que começam e terminam por consoante.
c) quantos são os anagramas que possuem as letras C, L, I juntas nessa ordem?
Observe todas as possibilidades em que as letras C,L, I aparecem juntas e nessa ordem:
Porém, resolver deste modo pode ser trabalhoso dependendo da quantidade de letras. Assim, considere as letras C, L, I como se fossem um único “bloquinho”, com isso tem-se 6 elementos, conforme figura abaixo, e sua permutação é dada por \(6!=720\), que é o mesmo resultado que \(6\times 5!=720\).
d) quantos são os anagramas que possuem as letras C, L, I juntas em qualquer ordem?
Neste item procede-se de modo bem similar ao anterior, porém a única mudança está em permutar as letras C, L, I dentro do “bloquinho”. Assim, o número de anagramas é dado por
\(3!\times 6!=4.320,\)
onde o \(3!\) representa as permutações das letras C, L, I dentro do “bloquinho”.
Exemplo 2:
Cinco pessoas desejam sentar-se em 5 cadeiras em fila. De quantos modos é possível sentar essas 5 pessoas sabendo que duas delas não querem ficar juntas?
Sabe-se que o número total de maneiras que 5 pessoas podem se sentar em 5 cadeiras é \(5!\), se não houver nenhuma restrição entre elas. Porém, como duas não querem sentar juntas, basta determinar o número de modos que duas determinadas pessoas fiquem juntas e retirar do total. Assim,
representa o número de modos de duas pessoas sentarem juntas. Portanto, a resposta é \(5!-2!\times 4!=120-48=72\).
Exemplo 3:
Considere todos os anagramas da palavra NÚMERO. Colocando-os em ordem de dicionário, determine:
a) a posição da palavra NÚMERO;
Colocando as letras em ordem de dicionário, tem-se a seguinte configuração: E, M, N, O, R, U. Assim, dos 720 anagramas (\(6!\)) da palavra NÚMERO, há
anagramas que começam com a letra E, e
anagramas que começam com a letra M. Note que a palavra NÚMERO estará em um dos 120 anagramas que começam com a letra N. Deste modo, se faz necessário ir para a próxima letra. Assim, observe a figura a seguir
que representa a quantidade de anagramas que começam por NE, NM, NO e NR. Note agora que a palavra NÚMERO será um dos 24 anagramas que começam por NU. Deste modo, se faz necessário ir para a próxima letra. Assim, a figura a seguir
representa a quantidade de anagramas que começam por NEU. A palavra NÚMERO será um dos 6 anagramas que começam por NUM, logo se faz necessário ir para a próxima letra. Tem-se então,
Portanto, há \(120+120+24+24+24+24+6+1=343\) anagramas antes da palavra NÚMERO e, então, a resposta é a 344º posição.
b) qual palavra ocupa o 500º lugar?
A resolução deste item procede da mesma maneira que o item anterior, no caso, em etapas. Assim, há \(6!=120\) anagramas que começam por E, 120 que começam por M, 120 que começam por N e 120 que começam por O. Há então, até o momento, 480 anagramas.
Agora, como há \(4!=24\) anagramas que começam por ME e \(480+24>500\), deve-se olhar para os anagramas que começam por ME. Assim, há \(3!=6\) anagramas que começam por MEN, \(3!=6\) anagramas que começam por MEO e \(3!=6\) anagramas que começam por MER, totalizando 498 anagramas. Portanto, MEUNOR ocupa o 499º lugar e MEUNRO ocupa o 500º lugar.
Então é isso pessoal! Espero que vocês tenham aproveitado o conteúdo. Um grande abraço e até o próximo post.