Olá pessoal, tudo bem com vocês?
Quando a meta é tomar decisões, muitas vezes o que se faz, mesmo que inconscientemente, é criar uma árvore de possibilidades. E se, nesta meta, precisar saber quantas são estas possibilidades, a Matemática possui uma ferramenta de grande utilidade: a Análise Combinatória.
Neste tópico tem-se o start disso tudo, o Princípio Fundamental da Contagem.
1. Princípio Fundamental da Contagem – (PFC)
Suponha que sua meta seja ingressar em uma universidade no próximo ano, mas para isso precisará escolher três etapas, a saber: qual universidade, entre quatro opções; qual curso escolher, entre três opções e, por fim, qual período estudar, entre duas opções.
Observe que, para cada escolha de uma universidade, tem-se três opções de curso e duas para o período. A fim de uma melhor compreensão faz-se uso, pelo menos neste momento introdutório, da árvore de possibilidade. Uma ilustração dela segue na sequência.
Portanto, há um total de 24 possibilidades (quantidade de linhas da última coluna) para a escolha de uma universidade, um curso e de um período de estudo.
O Princípio Fundamental da Contagem (PFC) evita a construção da árvore de possibilidades, que pode ser extremamente inviável caso haja muitas etapas de escolhas ou, até mesmo, valores altos para cada escolha. Assim, basta observar que o valor final, de 24 possibilidades, surge a partir do produto.
O exemplo mostra o Princípio Fundamental da Contagem ou Princípio Multiplicativo, que diz:
Se uma decisão é composta por duas etapas, onde há \(x\) maneiras de ocorrer a primeira etapa e \(y\) maneiras de ocorrer a segunda etapa, então o número de maneiras de se tomar tal decisão é dada pelo produto de \(x\) por \(y\), ou seja, \(x\cdot y\).
Exemplo 1:
Para fazer uma viagem Paris – Itália – Paris, tem-se disponível como transporte o trem, o ônibus ou o avião. De quantas maneiras pode-se escolher os transportes de ida e volta de modo que o meio de transporte de volta não pode ser o mesmo usado na ida?
Resolução:
Note que há três maneiras de escolher a ida e duas maneiras de escolher a volta, uma vez que não se pode repetir o mesmo meio de transporte.
Portanto, o número de maneiras de realizar a viagem Paris – Itália – Paris, de acordo com as condições expostas, é de 3⋅2=6.
Exemplo 2:
a) Quantos números naturais com três algarismos existem?
b) Quantos números do item (a) possuem os algarismos distintos?
c) Quantos números do item (b) são divisíveis por 5?
Resolução:
a) Observe a seguinte figura:
onde a escolha de 9 possibilidades para o milhar se dá pelo fato de um número com três algarismos não poder começar o algarismo 0. Portanto, existem, pelo princípio multiplicativo, 9⋅10⋅10=900 números com três algarismos.
b) Observe a seguinte figura:
onde a escolha de 9 possibilidades para o milhar se dá pelo fato de um número com três algarismos não poder começar com o algarismo 0. Como não se pode repetir os algarismos, deve-se ter 8 possibilidades de escolha para a dezena, porém o algarismo 0 pode ser utilizado, resultando em 9 possibilidades novamente. Por fim, para a unidade, há apenas 8 possibilidades, pois duas já foram utilizadas.
Portanto, existem 9⋅9⋅8=648 números naturais com três algarismos distintos.
c) Exercícios como este devem começar pelas etapas com maiores restrições. Como se sabe, um número é divisível por 5 se este terminar em 5 ou 0, assim o último algarismo do número pode ser escolhido de 2 modos (0 ou 5). Observe que a escolha do primeiro algarismo está condicionada à escolha do último, pois se o zero for usado como último algarismo, o primeiro pode ser escolhido de 9 modos (não se pode usar o algarismo já empregado na última casa). Porém, se o zero não foi utilizado como último algarismo, o primeiro algarismo pode ser escolhido de 8 modos (não se pode usar nem o zero nem o algarismo já empregado na última casa).
Uma sugestão para resolver exercícios como este é separar em dois casos, observe as figuras a seguir:
Portanto, a quantidade de números naturais de três algarismos que são divisíveis por 5 é
Na sequência, deixo para vocês meu vídeo do YouTube sobre o Princípio Fundamental da Contagem.
Agora, se você quiser se preparar para os principais vestibulares e ENEM, faça parte hoje mesmo do EXTENSIVO DO PROFESSOR MATECA.