Afinal, a Raiz Quadrada de um Número Tem o Sinal de Mais ou Menos?
Introdução
Uma dúvida que frequentemente surge na sala de aula e até mesmo aqui nos vídeos do YouTube é sobre a raiz quadrada de um número: ela tem o sinal de mais ou menos em sua resposta? Para responder essa questão, precisamos entender o verdadeiro significado da raiz quadrada e de onde vem a ideia de uma possível resposta negativa.
A História da Raiz Quadrada
A raiz quadrada tem suas origens na expressão latina “radix quadratus”, que significa “lado do quadrado”. Por exemplo, “radix quadratus 16 aequalis 4” pode ser traduzido como: “O lado do quadrado de área 16 é igual a 4”. Com o tempo, essa frase foi sendo simplificada e modificada por diferentes traduções e usos. Chegou-se, então, à forma moderna que conhecemos hoje como o símbolo da raiz quadrada.
Portanto, historicamente, a raiz quadrada está associada a uma questão geométrica: encontrar o lado de um quadrado que tem uma determinada área. Por essa razão, a resposta para a raiz quadrada de um número é sempre positiva, já que estamos falando do comprimento de um lado, que não pode ser negativo.
A Raiz Quadrada em Equações
Mas então, de onde vem a ideia do sinal negativo? Essa questão surge quando resolvemos equações, por exemplo:
x^2 = 16
\]
A pergunta que se faz é: quais são as raízes dessa equação? Neste caso, tanto \(4\) quanto \(-4\) são soluções, pois:
4^2 = 16 \quad \text{e} \quad (-4)^2 = 16
\]
Portanto, dizemos que \(4\) e \(-4\) são as raízes quadradas de 16. No entanto, quando escrevemos o passo a passo da resolução, obtemos:
x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm \sqrt{16}
\]
Observe que o símbolo \(\pm\) (mais ou menos) está fora da raiz. Isso significa que ele é resultado da solução da equação, e não da operação de raiz quadrada em si.
Essa fala pode ser estendida para qualquer equação da forma \(a^n=x\), pois cada resposta (isto é, valor de \(a\)) é denominado raiz enésima de \(x\).
Funções e Gráficos
Para reforçar essa ideia, pensemos na função \(f(x) = \sqrt{x}\). Se tentássemos atribuir dois resultados para a mesma entrada, a função deixaria de ser uma função, pois teríamos um mesmo \(x\) com dois valores de saída. O gráfico da função \(f(x) = \sqrt{x}\) é sempre positivo, confirmando que a raiz quadrada de um número positivo retorna um resultado positivo. Veja o gráfico da função \(f(x)=\sqrt{x}\)
Agora, imagine que a “função” \(f(x)=\sqrt{x}\) fosse construída a partir do \(\pm\) para cada \(x\) não negativo. Seu gráfico teria a forma da imagem a seguir:
Tal gráfico, claramente não é gráfico de função pois, por exemplo, o número 4 está associado a dois y, contradizendo a definição de uma função.
Por exemplo, se quisermos calcular \(f(16)\), temos:
f(16) = 4
\]
E não \(-4\). Portanto, a função raiz quadrada considera apenas o resultado positivo.
Definição Formal da Raiz Quadrada
Podemos definir a raiz quadrada de um número real não negativo \(x\) da seguinte maneira:
\sqrt{x} = y \quad \text{tal que} \quad y^2 = x \quad \text{e} \quad y \geq 0
\]
Portanto, a raiz quadrada de um número positivo é sempre positiva, pois estamos buscando um valor \(y\) que, elevado ao quadrado, resulte em \(x\), e esse \(y\) deve ser maior ou igual a zero.
Explicações para Professores
Se você é professor, pode ter enfrentado situações em que um aluno questiona por que a raiz quadrada de 25, por exemplo, não pode ser \(-5\). Uma boa forma de ensinar é explicando que a raiz quadrada de um número, por definição, sempre retorna o resultado positivo. Assim, ao perguntar “Qual é a raiz quadrada de 25?”, a resposta correta é:
\sqrt{25} = 5
\]
Se o aluno mencionar que \((-5)^2\) também é 25, você pode explicar que essa é uma solução para a equação \(x^2 = 25\), que tem duas soluções, \(5\) e \(-5\). No entanto, a operação de raiz quadrada em si não considera o sinal negativo.
Conclusão
Em resumo, a raiz quadrada de um número positivo é sempre positiva. O sinal de mais ou menos aparece quando resolvemos equações do tipo \(x^2 = c\), e não ao calcular diretamente a raiz quadrada. Entender essa distinção é essencial para evitar confusões e responder com clareza a essa dúvida comum.
Espero que este artigo tenha esclarecido a questão e ajudado a compreender melhor o conceito de raiz quadrada. Se você tiver dúvidas ou comentários, sinta-se à vontade para deixar um comentário. E lembre-se: na próxima vez que alguém perguntar: A raiz quadrada pode ser negativa, ou seja pode apresentar uma resultado negativo, você já saberá responder!