Olá pessoal, tudo chiq10 com vocês? Bora tratar de mais um tópico importante dentro da matemática básica e muito presente nos vestibulares, ENEM e concursos públicos. Você aprenderá como resolver um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas, seja pelo método da adição ou substituição.
Equações com duas incógnitas
Em uma sala com homens e mulheres há um total de 50 pessoas. Somente com essa informação não é possível saber exatamente quantas pessoas de cada sexo há na sala, pois são várias as possibilidades. Observe algumas destas possibilidades na tabela a seguir.
Representando por \( x \) o número de homens na sala e por \( y \) o número de mulheres na sala, pode-se ilustrar essa situação por uma equação do 1º grau com duas incógnitas, da seguinte forma
onde \( x \) e \( y \) são as incógnitas. Resolver uma equação como esta, consiste em determinar um par ordenado \( (x, y) \) que satisfaça a equação, porém vale observar que neste contexto os pares ordenados precisam ser formados por números naturais. Assim, de acordo com a tabela apresentada anteriormente, \( (10, 40), (20, 30), (25, 25), (30, 20), (45, 5) \) são pares ordenados que solucionam o problema.
Só que ter muitas soluções para um problema não é algo interessante, e uma possível maneira de resolver tal obstáculo pode ser encontrando uma outra equação com as mesmas duas incógnitas, criando assim um sistema de equações.
Você conseguiria encontrar, agora, uma solução para o problema sabendo que há 50 pessoas na sala e que o número de homens é igual a 2/3 do número de mulheres? Ficou mais interessante, não é mesmo?
Agora, há duas equações para duas incógnitas o que possibilita indicar essa situação da seguinte maneira:
formando um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas.
Como resolver um sistema de equações?
No problema anterior, a partir da tabela, o par ordenado \( (20, 30) \) é solução do sistema
pois \( 20 + 30 = 50 \) e \( 20 = \frac{2}{3} \cdot 30 \), ou seja, \( (20, 30) \) é solução da equação \( x + y = 50 \) e ao mesmo tempo da equação \( x = \frac{2}{3} y \).
Apresento na sequência métodos que nos permitem encontrar soluções para sistemas de equações sem a necessidade de ficar testando valores ou construindo tabelas.
Método da substituição
O método da substituição é um dos mais eficientes na resolução de sistema de equações, pois é simples de ser aplicado uma vez que basta isolar uma das incógnitas em uma equação conveniente e substituir na outra equação.
Exemplo 1:
Portanto, o par ordenado \( (3, -1) \) é solução do sistema.
Exemplo 2:
Para sistemas como o do exemplo 2, é interessante usar o método da adição que será apresentado abaixo.
Método da adição
Este método tem como meta somar membro a membro as equações do sistema para que se possa eliminar uma das incógnitas, resultando em uma equação do primeiro grau com uma incógnita.
Exemplo 3:
Portanto, o par ordenado \( (2, 1) \) é solução do sistema.
Exemplo 4:
Neste tipo de problema é preciso modificar o sistema multiplicando ambas as equações por um valor conveniente de modo a obter um sistema que dê para aplicar o método da adição.
Portanto, o par ordenado \( (2, 1) \) é solução do sistema.
É isso pessoal, espero que tenham gostado do texto e a gente se encontra na próxima aula!!
Forte abraço.
Valter